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20世纪下半叶,非线性科学得到了蓬勃的发展。自1963年美国气象学家Lorenz论述混沌现象以来,人们对混沌运动的规律及其在自然科学各个领域的表现已经有了丰富的认识。在自然界和人类社会中广泛存在混沌这一事实已被普遍接受,而如何应用混沌研究的成果为人类服务已成为非线性科学发展提出的重要课题之一。
在我们的日常生活中，时空复杂行为处处可见.一支燃着的香烟，烟雾在平稳的气流中冉冉上升，突然卷曲成一团剧烈扰动的烟雾，四处飘散.在流体力学中，称这种现象为开流不稳定现象.烟雾在向上漂动时，它的边界层与空气产生剪切作用，不断裹挟着空气分子与烟雾一起运动，这样，在边界层不断发生质量转移和动量转移，使边界层的速度下降，边界层与中心的速度差使这种剪切流不稳定性扩展到上升烟雾的中心，从而出现卷曲及剧烈的紊乱.仔细观察烟雾的上升全过程，我们可以发现，在烟雾上升的初始，是一种较平稳的层流状态气流;而上升到某些高度后，开始在烟雾边界出现一些极小的振动图案;然后，这些振动迅速增大，并开始出现一些卷曲结构;再向上走，这些卷曲就扰乱了整个烟雾.我们在离烟雾起始点的不同距离上，可以观察到开流由有序向无序的转变.层流状态的转变点在一定范围内很不确定，会随时间非常随机地上下漂移。实际上，它由外界的微小扰动和烟雾起始点的微小差异共同决定.而转变后形成的空间图案，更是千变万化.这个系统很明显对初始的微小扰动有着极强的敏感性.而且，在卷曲后形成的空间图案区域中，图案运动的时间行为和空间行为都十分复杂.对于这种状态随时间和空间的变化，人们一般用反应扩散方程来描述，即状态u(x,t)满足如下形式的偏微分方程:
（1.1）
　　　其中f(u)动称为反应项，称为扩散项.但是，这个方程的严格求解在一般情况下非常复杂，特别当反应项中的非线性很强时，方程的解对初值的变化可能相当敏感.
　　　
　　　
1．1 非线性动力学研究的目的
非线性动力学研究的目的，就是揭示在许多研究领域中非线性现象的共性.因为许多自然现象都可以由微分方程的解进行描述，过去人们一直乐观地认为，如果不考虑微观的测不准原理，只要有足够的计算时间，就可以对各种自然现象以准确的描述.但是，混沌的发现却宣告了这种观点的失败.对于处于混饨状态的系统，人们无法在任何有限时间内，对系统的行为给予准确的预言.这并不意味着我们对这种系统将无能为力，对非线性动力学的研究正是为了我们可以理解这种行为，阐明其中有序和无序行为之间竞争的规则，以及可以在何种程度上预言竞争的结果.