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恒等变形在中学数学中的应用

论文作者:www.51lunwen.org论文属性:硕士毕业论文 thesis登出时间:2013-03-15编辑:hynh1021点击率:2134

论文字数:12900论文编号:org201303151110413844语种:中文论文 Chinese地区:中国价格:免费论文

关键词:恒等变形中学数学代数三角函数应用

摘要:恒等变形是中学数学中解决数学问题的常用方法之一。它不仅是学习其它代数学内容的基础,而且也是学习其它数学分支的基础。将一个解析式换成另一个和它恒等的解析式,这个过程就叫做恒等变形。由于等式的类型和形式的多样性,应该掌握并灵活运用恒等变形,并采用灵活多变的技能技巧,快速确定解题方向,减少解题的盲目性,提高解题效率。

引  言


    在中学数学的教学过程中,单纯地掌握概念和公式是不行的。数学问题条件多样、 形式多变, 其求解思路难以发现,因此要针对不同的题目,观察它的特点,灵活运用数学方法和技巧,确定解题方向,提高解题效率,减少解题的盲目性。在《义务教育数学课程标准》的总体目标中表明学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技巧。在《普通高中数学课程标准》的具体目标的第一条也有指出。恒等变形是数学解决问题的常用方法之一。http://www.51lunwen.org/Mathematics/ 恒等变形的意义是将一个复杂的式子转化为简单的式子,或者是通过它把式子的一种形式转化成另一种所需要的特殊形式,以便研究问题和解决问题,但有一个前提条件,要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的,就是“形”变“值”不变。代数式的恒等变形在初中数学中占重要的地位,是初中学生必须掌握的基本功。而三角函数的恒等变形是高中数学的必修内容,在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。
 近年来,中考中出现了越来越多的需要运用恒等变形来求解的题目,高考中三角恒等变换是每年的必考题且分值相当高,这使得很多专家学者对恒等变形进行了研究。在阅读了一些国内、外专著和期刊以及一定量的国内文献后我发现,利用恒等变形,在数学运算中是举目可见的,它在解题过程中的妙用也是不胜枚举的,能熟练而巧妙地运用它、掌握它,便可收到事半功倍的效果。其中,Keith.W和akashi.M&Yuguang.Y[1-2]阐述了一些有关三角函数的内容;唐家祥[3]的解释了为在代数学中用恒等变形解决问题打好了扎实的基础;徐清华[4]从因式分解、求代数式的值、证明恒等式、根式的化简和求值这几方面讨论了代数式的恒等变形;申志强[3]举例说明代数式恒等变形的常用的十种方法;李永信和丁胜[6-7]着重分析在解题过程中利用各类方法进行恒等变形;刘祥忠[8]结合例题初步介绍求代数式值的一些常用方法和技巧;吴键和华兴恒[9-10]主要介绍了恒等变形中中最重要的因式分解,它是解决许多数学问题的有力工具;文[1116]从不同角度具体介绍三角函数恒等变形,进行针对性的训练,使学生易于解决比较难的三角函数问题,对培养学生的创造思维,提高学生分析问题、解决问题的能力。以上这些文献对于恒等变形都进行了比较深入的研究,但他们的研究都是具体研究某一方面的,并没有较全面的针对中学数学。
  本文主要从代数论和函数论两方面讨论恒等变形在中学数学解题中的应用,并结合换元法、数形结合法、分类讨论、函数思想等多种数学思想,并结合一些典型例题或高考题,利用恒等变形,巧用相应方法后,可以化繁为简,让一些看似特别难的试题迎刃而解。


   
1.认识恒等变形    


            
1.1 等式  
 用等号连接的两个解析式叫做等式。
 等式两边的解析式的定义域的公共部分(交集),称为此等式的定义域。
   等式是命题,如果等号两边的解析式对于其定义域内所有允许值都有相等的数值,叫做这两个解析式恒等,这样的等式叫做恒等式,如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值中,只有某些数才有相等的数值,这样的等式叫做条件等式。如果等号两边的解析式对于自变数的所有允许值,它们的值都不相等,这样的等式叫做矛盾等式。例如,等都是恒等式;是条件等式;是矛盾等式,有时为了强调一个等式是恒等式,常用代替。


                  
1.2 恒等变形的定义                 
   恒等概念是对两个解析式而言,如果两个解析式,对于自变数的所有容许值组,这两个代数式的值都相等,就说它们是恒等的。
   将一个解析式用另一个与它恒等的解析式去代换,称这代换叫做恒等变形。


  
1.3恒等变形的几个注意点


1.3.1 恒等的概念是相对的
   两个表达式可能在自变数的容许值组的某一集合上恒等,但在另一集合上不恒等,也就是说,如果自变数的容许值组的集合改变时,两个表达式的恒等性可能被破坏。


   
1.3.2定义域的改变
   解析式的恒等变形可能引起它的定义域的改变。例如和,第一个式子当时,即是在区间 内有意义;第二个式子当时,即是在两个区间和内有意义。而恒等式,在两定义域的公共部分上成立。当我们用表达式去代换时 ,的负值便从第一个式子的定义域内除掉了。


   
1.3.3 未知数的限制
   必须注意字母所取得的任何值有条件的。如,必须先规定,等式才有意义。


   
1.3.4 恒等要有意义
   对任意值等号满足,但与不能视为恒等,因为对的任何值无意义。


   
1.4恒等变形的意义
    恒等变形将一个复杂的式子转化为简单的式子,或者是通过它把式子的一种形式转化成另一种所需要的特殊形式,使之能更简捷的达到目的。但有一个条件,要求变形前和变形后的两个解析式是恒等的,就是“形”变“值”不变。


4.结论


 通过以上这些例题充分说明了恒等变形在中学数学解题中的重要作用。解决许多具体问题都可以普遍借助于数学变换的思维方法将复杂的问题通过解析式上的恒等变形,转化为容易解决的若干问题。掌握恒等变形这种基本方法,不是盲目地去做那些偏题、怪题,应注重通性、通法。在解题时药懂得变通,当用某种方法做不出来的时候就试试别的方法,可能就会豁然开朗,柳暗花明又一村。当然,恒等变形不是万能的,我们还需要掌握其他的数学方法。我们要学会做一题就会做一类题,能举一反三的解决其他问题,在平时注意多加积累解题的经验,掌握通俗的解题技巧。数学知识和数学方法是相互作用,相互依存的。http://www.51lunwen.org/ 数学方法是对数学知识进一步提炼和概括,通过学习数学方法,可以使学生学习的数学知识不是零散的知识点,也不是解题的套路和一招一式,而是形成对数学本质的认识,形成有序的知识链。数学是人类文化的重要组成部分,数学方法是数学的灵魂和精髓,学习数学方法可以为学生认识客观世界提供科学的方法和思维的工具,用数学的眼光观察周围事物,用数学方法处理周围事物,有利于提高学生的科学文化素养。

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