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表中三个组的平均值均为70. 13分,但A组数据的全距(最大数与最小数之差)为25,标准差为8. 1557,明显的非常集中;C组数据的全距为34,标准差为9.3799,最为分散;B组居中,全距为30,标准差为9.2294。也就是说,A组平均值为70.13的代表性最大,C组平均值的代表性最小。但是仅从三组的平均值来判断,却无法得出全面的结论。由此可见,一组数据集中量数的代表性如何,可由表示差异情况的量数来说明,如表中的全距(Range)和标准差(Standard Devi-ation)。差异量数愈小,则集中量数的代表性愈大,数据的集中程度亦愈大;反之,若差异量数愈大,则集中量数的代表性愈小,数据的离散程度愈大;若差异量数为零,则说明该组数据彼此相等,其值都与集中量数相等(王汉澜,1986)。

因此,为了全面、准确地反映实际情况,在进行测试成绩统计时,除必须求出集中量数外,还需要计算出差异量数,最为常用的是全距和标准差。集中量数是指量尺上的一点,是点值,而差异量数是量尺上的一段距离(张厚粲,1988),只有将二者很好结合,才能对一组数据的全貌进行清晰的描述,只有利用平均数和标准差两个统计量才能全面说明一组数据的全貌(韩宝成,2000),这样才能得到有真正价值的统计分析数据,为改进大学英语的教学、提高教学质量提供有价值、有实际意义的数据统计资料。标准差(Standard Deviation)是方差的平方根。而方差(Variance)是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值,即离均差平方后的平均数。标准差是最重要、最完善和最常用的差异量数,在统计分析中占有十分重要的地位。它“是用来表示考试成绩差异程度最好的指标,其值越大,说明分数分布的离散程度越大;其值越小,说明分数分布集中,离散程度越小”(刘润清、韩宝成,2000)。

式中,∑X2为原始数据的平方和,(∑X) 2为原始数据总和的平方,N为数据个数。

在标准化的统计分析中除了要计算出一组数据的标准差以外,常常还要将原始分数转换为标准分(Standard Score)。标准分(亦称为Z分)实际上就是以标准差为单位来表示某一分数与平均数的差(桂诗春,1986)。标准分的计算公式为:

式中, x为原始分数,X为平均值,SD为标准差。标准分表示其原始分在以平均分数为中心时的相对位置,这比使用平均数和原始分数表达了更多的信息。把原始分数转换为标准分之后,标准分成了一种抽象的数值,不受原测量单位的影响。因此,把不同单位的数据转换成标准分之后就可以进行比较(刘润清、韩宝成,2000),同时还能接受代数方法的处理,因此,在数据统计分析中有广泛的应用价值和重要的作用(叶佩华等,1983)。例如,有A、B两位学生在某学期的考试中取得的分数如下表(表4)所示,可以利用标准分来进行比较说明。

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